2.6 Propiedades de las relaciones

Propiedades de las relaciones (Reflexiva, Simétrica, Asimétrica, Anti simétrica, Transitiva)

 Las relaciones se pueden clasificar de acuerdo al tipo de asociación que hay en sus elementos como: uno-a-uno 1–1, uno-a-mucho 1-M, muchos-a-uno M-1 o muchos-a-muchos M-M. Recordemos que una relación es un conjunto de pares ordenados. 

Relación Reflexiva y Irreflexiva 

Teorema: Una relación R en un conjunto es reflexiva si y solo si la diagonal principal de la matriz asociada a la relación tiene únicamente unos. De la misma forma es Irreflexiva si tiene solamente ceros. 
Una relación A es:

Reflexiva: Si todo elemento en A esta relacionado con sigo mismo, con símbolos:

Irreflexiva: Si ningún elemento en A esta relacionado con sigo mismo, con símbolos:

Relación Simétrica, Asimétrica, Antisimétrica Y Transitiva 

Teorema: Una relación R es simétrica si y solo si los elementos opuestos con respecto a la diagonal principal son iguales.
Simétrica: Si cuando un elemento está relacionado con un segundo elemento, el segundo también se relaciona con el primero, con símbolos: (x ,y) ∈  R  ⇒  (y ,x) ∈ R
Asimétrica: Una relación R en un conjunto A es asimétrica si cuando a R b, entonces b Ra. De esto se sigue con que R no es simétrica si se tiene a y b e A con ambos a R b y b R a.
Teorema: Una relación R en conjunto es Antisimétrica si y solo si los elementos opuestos con respeto a la diagonal principal no pueden ser iguales a 1; esto es, puede aparecer 0 con 1 o pueden aparecer ceros.
Antisimétrica: Si cuando un elemento está relacionado con un segundo elemento diferente, el segundo no se relaciona con el primero, con símbolos:∀x, y, ((x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R → x = y)
La antisimetría no es lo opuesto de la simetría.
Transitiva: Si cuando un elemento esta relacionado con un segundo elemento y el segundo esta relacionado con un tercero, entonces el primero esta relacionado con el tercero: 
     
Ejemplo para todas las relaciones 
Cuando tenemos la matriz de una relación es muy fácil verificar si es reflexiva, Irreflexiva, Simétrica, Asimétrica, Antisimétrica, Transitiva:     
Ejemplo.- Sea A = { a, b, c, d, e } 
R1 = { (a,a), (b,b), (a,c), (b,c), (c,a), (d,d) }          
R2 = { (a,a), (a,d), (c,b), (d,a), (c,e), (e,e) }          
R3 = { (a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (e,e), (b,c), (b,a) }
R4 = { (a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (b,c), (b,e), (c,e), (b,d), (d,a), (e,e) }     
R5 = { (a,c), (a,e), (e,c), (b,c) }       
R6 = { ( (a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (e,e), (a,e), (b,c), (c,b), (e,a) }  
R7 = { (a,b), (b,d), (c,a), (d,e), (e,c), (b,c), (b,a) }
 Si observamos la figura podemos darnoscuenta que R3 y R6 son Reflexivas, y también podemos ver que R5 y R7 son Irreflexivas.      
De las relaciones anteriores R6 es simétrica, R3 y R5 son antisimétricas; R3, R4 y R5 son    Transitivas.