3.1.4 Equivalencias lógicas

Equivalencias lógicas:

Dos fórmulas lógicas son equivalentes si tienen los mismos valores de verdad para todos los posibles valores de verdad de sus componentes atómicos.

Diremos que dos proposiciones P y Q son lógicamente equivalentes si es una tautología, es decir, si las tablas de verdad de P y Q son iguales.

Leyes Lógicas

Reglas de Inferencia

Dadas dos proposiciones P y Q diremos que P implica lógicamente Q , y escribiremos P \Rightarrow Q si P rightarrow Q es una tautología.

Si P es falso, entonces la proposición P, Q es verdadera independientemente del valor de Q. Por tanto, P si los valores de las variables que hacen a P verdadero también hacen verdadero a Q. De manera equivalente P Q significa que P y Q no tienen nunca de manera simultánea los valores de verdad 1 y 0 respectivamente.

Como hemos dicho, las proposiciones pueden tomar dos valores, verdadero o falso, que representaremos respectivamente con los números 1 y 0. Por tanto, cuando digamos que una proposición toma valor 1 estaremos diciendo que es verdadera.

El valor de verdad de una proposición compuesta queda determinado por los valores de las proposiciones simples que la forman. Las tablas de verdad nos indican los valores de verdad de una proposición para cada posible combinación de los valores de las proposiciones simples.

Equivalencia lógica en la ley asociativa de la conjunción

A modo ilustrativo demostraremos, a continuación, que, en virtud de la ley asociativa de la conjunción, la fórmula p(qr) es lógicamente equivalente a (pq)r.

Para ello no hay más que hacer la tabla de verdad de cada una de esas expresiones y comprobar si, en efecto, todas sus interpretaciones son iguales para la conectiva dominante.

Equivalencia lógica en la ley asociativa de la disyunción

Te proponemos que rellenes la siguiente tabla con “Vs” y “Fs” donde proceda para comprobar que, en virtud de la ley asociativa de la disyunción, la fórmula p(qr) es equivalente a (pq)r.

Ejemplo: Las dos fórmulas siguientes son equivalentes:

(p → ¬q) ∨ (¬p ∨ r)          ¬p ∨ ¬q ∨ r 

Tautologías fundamentales

Ley del medio excluido p ∨ ¬p
Ley de no contradicción ¬(p ^ ¬p)
Modus ponendo ponens ((p → q)^p) → q
Modus tollendo tollens ((p → q)^ ¬ q) → ¬ p
Silogismo Disyuntivo ((p ∨ q)^ ¬p) → q

Equivalencias

Doble negación ¬(¬p) ↔ p
Implicación y disyunción p → q ≡ ¬p ∨ q
Contra positiva p → q ≡ ¬q → ¬p
Negación de la Implicación ¬(p → q) ≡ p ^ ¬q
Leyes de De Morgan ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ^ ¬q
¬(p ^q) ≡ ¬p ∨ ¬q

La expresión p → q es equivalente a ¬p ∨ q pues