Funciones
En matemáticas, si una cantidad o una cantidad es la relación entre dos cantidades, entonces se puede decir que una cantidad o cantidad es función de otra cantidad, de esta manera cada valor de la primera cantidad corresponde a la segunda cantidad Un valor único de cada cantidad (llamado imagen).
Para definirlo de otra manera, una función es un objeto matemático utilizado para expresar la dependencia entre dos cantidades, y puede expresarse en varios aspectos complementarios. Un ejemplo común de una función numérica es la relación entre la posición y el tiempo en el movimiento humano.
Su definición formal es:
Una función es una terna constituida por:
Un conjunto A llamado dominio de la función.
Un conjunto B llamado condominio de la función.
Una regla de correspondencia que posee tres características.
A todo elemento del dominio se le puede asociar un elemento del condominio
Ningún elemento del dominio puede quedarse sin un asociado en el condominio
Ningún elemento del dominio puede tener más de un asociado en el condominio.
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Función Inyectiva:
Una función f entre los conjuntos A y B se dice que es inyectiva, cuando cada elemento de la imagen de f lo es, a lo sumo, de un elemento de A. Suele decirse también que la función es uno-a-uno. Dicho de otra forma:
F: A −→ B es inyectiva ⇐⇒ ∀a1, a2 ∈ A [a1 6= a2 =⇒ f (a1) 6= f (a2)]
La “mejor forma” de probar en la practica la inyectividad de una función es utilizar la contra recíproca, es decir,
F: A −→ B es inyectiva ⇐⇒ ∀a1, a2 ∈ A [f (a1) = f (a2) =⇒ a1 = a2]
Función Suprayectiva:
Una función f entre los conjuntos A y B se dice que es suprayectiva, sobreyectiva o exhaustiva, cuando cada elemento de B es imagen de, al menos, un elemento de A. Es decir,
F: A −→ B es suprayectiva ⇐⇒ ∀b ∈ B, ∃a ∈ A tal que F(a) = b
En otras palabras, F es sobreyectiva si la imagen de F es todo el conjunto B, es decir si Img. (F) = B.
Función Biyectiva:
Una función f entre los conjuntos A y B se dice que es biyectiva, cuando es, a un tiempo, inyectiva y suprayectiva.
Función Inversa
Dada una función f entre los conjuntos A y B, consideremos su relación inversa, es decir aquella que se obtiene intercambiando cada uno de los pares que componen la relación.
Pues bien, según hemos visto en el apartado anterior, la relación inversa de una función no es, en general, otra función.
Dedicamos este apartado al estudio de las relaciones inversas que son funciones.
Función Invertible
Dada una función f entre los conjuntos A y B, diremos que es invertible si su relación inversa también es función. En tal caso, a la relación inversa de f, la notaremos f−1 y la llamaremos función inversa de f, estando definida en la forma:
f−1:B −→ A : f
−1
(b) = a ⇐⇒ b = f (a), ∀b ∈ B
A la vista del ejemplo del apartado anterior, podemos deducir que para que f−1 sea
Función, f ha de ser inyectiva y también suprayectiva ya que de lo contrario f−1 dejaría de cumplir las condiciones requeridas para que sea función.
Los conjuntos normalmente suelen ser utilizados para representar dichas relaciones para hacer más ameno y comprensible su análisis.
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