3.3 Algebra declarativa

 Lo que algunos llaman álgebra declarativa no es otra cosa que el álgebra proposicional, o sea, la estructura algebraica que se forma con expresiones utilizando los conectivos lógicos.

Empezaremos por definir formalmente cómo se construye una fórmula en lógica. Una expresión sintácticamente correcta se le llama fórmula bien formada (fbf) o simplemente fórmula y su definición es:

Una fórmula en lógica de proposiciones se obtiene al aplicar una ó más veces las siguientes reglas:

(B) si p es una proposición lógica, es una fbf.

(R) si F es una fórmula bien formada (fbf) también lo es (¬F).

(R) si p,q son fbf entonces también lo es (p*q) donde * es uno de los operadores binarios, ^ v → ↔.

Las proposiciones p Þ q y ~ (p Ù ~ q) son equivalentes, como vemos realizando la tabla de valores correspondientes:

¿Cómo simplificar en lógica?

Hay que utilizar equivalencias lógicas.

Por ejemplo, simplificar: ( p ^ q ) ^ ¬ q.

Para esto utilizamos las siguientes equivalencias lógicas:

( A ^ B ) ^ C <=> A^(B ^C)

A ^ ¬ A <=> F

A ^ F <=> F

( p ^ q ) ^ ¬q <=> F

Se puede observar que no existe distinción entre la equivalencia lógica y el esquema que la genera.

Ejemplo

Demostrar que una vez que p ^ q esta establecida, se puede concluir q.

Esta demostración se puede hacer de dos formas:

A) Se demuestra que p ^ q → q es una tautológica, es decir p ^ q <=> q.

Demostración

¬p V ¬q V q <=> V

B) Se demuestra que ( p ^ q ) ^ ¬q <=> F lo que nos lleva a que ( p ^ q ) ^ ¬q → F debe ser una tautológica