4.2 Optimización de expresiones booleanas

 Utilizando expresiones booleanas, vamos a definir Funciones booleanas, que son exactamente iguales a las funciones matemáticas a las que estamos habituados pero con la particularidad de que las variables son booleanas y que los valores devueltos por la función también son booleanos, es decir, una función booleana sólo puede tomar los valores ’0’ ó ’1’

Como hemos hecho antes, vamos a ver un ejemplo utilizando una función matemática de las que todos conocemos. Por ejemplo esta:

f ( x ) = x² + 1

Se trata de una función Real que tiene una variable Real (x). Para cada valor de x, obtenemos el valor de la función. Así por ejemplo podemos calcular los siguiente:

·         f(0) = 1

·         f(1) = 2

·         f(2) = 5

·         f(3) = 10

Como es una función Real, obtenemos como valores de la función Núme ros Reales. También podemos definir funciones reales de 2 ó más variables, como por ejemplo:

·         f ( x, y ) = x*y + 3          Función de 2 variables

·         g ( x, y, z ) = x*y + z Función de 3 variables

Como estamos acostumbrados a trabajar con este tipo de funciones, nos resultan sencillas. Ahora vamos a definir funciones booleanas. Para ello hay que tener en mente que trabajaremos con variables booleanas y que por tanto usaremos las operaciones + y * del Algebra de Boole, y que como ya sabemos, nada tienen que ver con las operaciones suma y producto a las que estamos habituados.

Por ejemplo, sea la siguiente función booleana de una variable :

El valor devuelto por la función es el negado del que se le pasa por la variable. Como la variable A es booleana, sólo puede tomar los valores ‟0‟ y ‟1‟. Los que la función F toma son:

Vamos a definir una función un poco más compleja, usando dos variables booleanas, A y B

¿Cuando vale F(0,0)? sólo hay que sustituir en la función los valores de A y B por ‟0‟, obteniéndose:

Calcularemos el valor de F para el resto de valores de entrada de A y B:

Fijándonos en esta función tan sencilla, podemos darnos cuenta de varias cosas:

1. Puesto que las variables de entrada A y B, sólo pueden tomar los valores ‟0‟ y ‟1‟, hay 4 casos distintos:

2. Antes de calcular los valores que toma la función, según lo que valgan A y B, se pueden aplicar algunas propiedades para obtener una función más simplificada.

Las funciones booleanas pueden ser de muchas más variables, como en los siguientes ejemplos:

Por cuestiones de comodidad, muchas veces no escribimos entre paréntesis las variables de la función, así por ejemplo podemos definir una función de 3 variables de la siguiente manera: